Las figuras regulares o irregulares se cuadran teniendo en cuenta que dos triángulos con la misma base y la misma altura tienen la misma área. Si tenemos el siguiente polígono:
Lo dividimos en triángulos:
Y, teniendo en cuenta que dos triángulos con la misma base y la misma altura son iguales, podemos ver que el polígono siguiente es equivalente al anterior:
Esto es un cuadrilátero, y ahora, siguiendo este proceso, podemos obtener un triángulo de la misma área que el pentágono inicial:
Ahora debemos transformar este triángulo en una figura más regular. Ahora mismo sería muy difícil transformarlo en un cuadrado, así que de momento lo transformaremos en un rectángulo. Para esto debemos tener en cunta que la fórmula del área de un triángulo es base x altura : 2 y la del rectángulo es base x altura. Eso quiere decir que un rectántgulo con área "n" y base "m" tendrá la mitad de altura que un triángulo de área "n" y base "m". Por lo tanto, tendríamos el rectángulo siguiente:
Ahora debemos transformar este rectángulo en un cuadrado. No parece fácil, ni lo es, para muchos. Primero debemos saber qué es el teorema de la altura: La altura de un triángulo rectángulo relativa a la hipotenusa divide esta hipotenusa en dos segmentos que son mediana proporcional de la altura, es decir, pongamos que tiene altura "x" y divide la hipotenusa en dos segmentos de "y" y "z". Entonces x:y=z:x. También tenemos que tener en cuenta que un triángulo que tiene un vértice en un punto de una circunmferencia y su hipotenusa es el diámetro, es siempre rectángulo. Esto se puede demostrar según el teorema de los ángulos de la circumferencia (los ángulos centrales son el doble que los inscritos si comparten arco), pero para eso deberíamos demostrar también ese teorema, así que haré una explicación sencilla:
Los triángulos MKN y NKO son isósceles, porque dos de sus lados son radios del mismo círculo.
Como los ángulos de un triángulo suman 180º (podemos verlo dibujando el ángulo exterior), los ángulos del triángulo MON suman 180º, y los ángulos de cada uno de los dos triángulos ateriores también. Los dos triángulos tienen dos ángulos iguales y uno independiente. la suma de ambos ángulos independientes suma 180º, es decir, la mitad de la suma de todos los ángulos de ambos triángulos. como los otros dos ángulos de cada triángulo son iguales entre sí, la suma de uno de esos ángulos de cada triángulo (n) es igual a la mitad de la suma de esos los pares de ángulos iguales, que son los ángulos del triángulo grande. Como la suma es 180º, la mitad (el angulo n) es 90º.
Volviendo al rectángulo, lo que necesitamos es un segmento que sea la media entre los dos lados, para tener un cuadrado de la misma área. Pero esta media no es aritmética, sino geométrica. Para representarla, debemos utilizar el teorema de la altura. los lados se alinean en un solo segmento, y el punto de unión será el punto B.
Se traza una semicircumferencia de A a L:
Y se traza una perpendicular al segmento AL desde B hasta la semicircumferencia:
La longitud del segmento BM es el lado del cuadrado.
El tamaño de las figuras es poco realista, pero el procedimiento es bastante exacto.
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