Problemas

Responded a los tres problemas en los comentarios, quiero ver cuánta facilidad se tiene para ellos.
1 Si tenemos fotografías de cabezas, cuerpos y colas de 16 animales y juntamos una cabeza, un cuerpo y una cola, ¿cuántas combinaciones posibles hay?(Responded con na fórmula generalizada por si tuviéramos n animales)
2 Un hombre sale de un punto A y camina 1000m al sur, luego 1000m al este y luego 1000m al  norte, y termina en el punto A. Si sabemos que no está en el Polo Norte, ¿dónde está?
3 Este problema es el más difícil con diferencia, por lo que no pido una demostración formal, solo un resultado: Tenemos un círculo y colocamos n puntos sobre su circunferencia. Unimos todos los puntos entre sí. ¿Cuál es la máxima cantidad de secciones en las que podría quedar dividido el círculo?

Cierre

EsTalMat termina con un discurso y una entrega de diplomas. A parte de un flexágono con las caras de todos los alumnos, regalan una calculadora Casio especial con un montón de funciones y capacidad para hacer gráficos y ecuaciones, un ejemplar de "Problemas para pensar de un minuto a una hora" y un puzle matemático. Me habría gustado poder explicar todo EsTalMat, pero lo aborreceríais, simplemente os dejo una entrada más con problemas para acabar.

Juegos de estrategia

Un par de sesiones van dirigidas a resolver juegos de estrategia (juegos que no dependen de la suerte y que se podría decir que tienen "fórmula". Un par de ejemplos sencillos son:

El 14 gana
En este juego se cuenta con 14 fichas y se pueden retirar 1 ó 2 por turno según se desee. El que retire la última ficha gana. El truco es fácil: para ganar, el oponente debe quedarse con 3 fichas, de las cuales podrá quitar 1 ó 2, y la o las fichas restantes las quitará el vencedor. Entonces podemos ver que el juego cambia a "el 11 gana", pero si utilizamos el mismo procedimiento podemos ver que también ganan el 8, el 5 y el 2:   Lo que tiene que hacer el primero para ganar es quitar dos fichas para que queden 12 (que es múltiplo del máximo de fichas que se pueden retirar más el mínimo, que en este caso da 3) y entonces si el oponente quita 1, tú quitas 2 y viceversa, quitando siempre entre los dos 3 fichas.

El 100 pierde
Si bien en el juego anterior vimos que el primero vencía con facilidad, aquí tenemos el problema de que el que coja la ficha nº 100 pierde. Pero esta vez, el número de fichas es de 1 a 10. Este problema también puede expresarse como "el 99 gana". El 99 es múltiplo de 11 (10+1), lo que quiere decir que el primer jugador está a merced del segundo, pudiendo este completar siempre las 11 fichas hasta llegar al 99, cuando el primero tendrá que retirar la última ficha.

Las cinco columnas
Este tercer juego es bastante sencillo al pararse a pensar: hay cinco columnas de cinco cuadrados. Arriba hay 5 fichas negras y abajo, 5 blancas. las fichas solo se pueden mover por su columna, pero se pueden mover tanto como quieran. El primer jugador en tener sus fichas immovilizadas pierde. Poned la solución en los comentarios.

Representación de raíces cuadradas

Para representar la raíz cuadrada de n solo hay que hacer un rectángulo de n x 1 y cuadrarlo según el procedimiento que ya he explicado.

La cuadratura de las figuras

¿Habéis oído algubna vez: "Esto es más difícil que cuadrar un círculo"? Pues eso se debe a que los griegos aprendieron la forma de cuadrar figuras (excepto el círculo) de forma exacta y sin conocer las medidas. Recordad lo que pone aquí, que puede ser útil durante lo que queda por leer de blog.
Las figuras regulares o irregulares se cuadran teniendo en cuenta que dos triángulos con la misma base y la misma altura tienen la misma área. Si tenemos el siguiente polígono:

Lo dividimos en triángulos:

Y, teniendo en cuenta que dos triángulos con la misma base y la misma altura son iguales, podemos ver que el polígono siguiente es equivalente al anterior:

Esto es un cuadrilátero, y ahora, siguiendo este proceso, podemos obtener un triángulo de la misma área que el pentágono inicial:

Ahora debemos transformar este triángulo en una figura más regular. Ahora mismo sería muy difícil transformarlo en un cuadrado, así que de momento lo transformaremos en un rectángulo. Para esto debemos tener en cunta que la fórmula del área de un triángulo es base x altura : 2 y la del rectángulo es base x altura. Eso quiere decir que un rectántgulo con área "n" y base "m" tendrá la mitad de altura que un triángulo de área "n" y base "m". Por lo tanto, tendríamos el rectángulo siguiente:

Ahora debemos transformar este rectángulo en un cuadrado. No parece fácil, ni lo es, para muchos. Primero debemos saber qué es el teorema de la altura: La altura de un triángulo rectángulo relativa a la hipotenusa divide esta hipotenusa en dos segmentos que son mediana proporcional de la altura, es decir, pongamos que tiene altura "x" y divide la hipotenusa en dos segmentos de "y" y "z". Entonces x:y=z:x. También tenemos que tener en cuenta que un triángulo que tiene un vértice en un punto de una circunmferencia y su hipotenusa es el diámetro, es siempre rectángulo. Esto se puede demostrar según el teorema de los ángulos de la circumferencia (los ángulos centrales son el doble que los inscritos si comparten arco), pero para eso deberíamos demostrar también ese teorema, así que haré una explicación sencilla: 

Los triángulos MKN y NKO son isósceles, porque dos de sus lados son radios del mismo círculo.

Como los ángulos de un triángulo suman 180º (podemos verlo dibujando el ángulo exterior), los ángulos del triángulo MON suman 180º, y los ángulos de cada uno de los dos triángulos ateriores también. Los dos triángulos tienen dos ángulos iguales y uno independiente. la suma de ambos ángulos independientes suma 180º, es decir, la mitad de la suma de todos los ángulos de ambos triángulos. como los otros dos ángulos de cada triángulo son iguales entre sí, la suma de uno de esos ángulos de cada triángulo (n) es igual a la mitad de la suma de esos los pares de ángulos iguales, que son los ángulos del triángulo grande. Como la suma es 180º, la mitad (el angulo n) es 90º.

Volviendo al rectángulo, lo que necesitamos es un segmento que sea la media entre los dos lados, para tener un cuadrado de la misma área. Pero esta media no es aritmética, sino geométrica. Para representarla, debemos utilizar el teorema de la altura. los lados se alinean en un solo segmento, y el punto de unión será el punto B.

Se traza una semicircumferencia de A a L:

Y se traza una perpendicular al segmento AL desde B hasta la semicircumferencia:

La longitud del segmento BM es el lado del cuadrado.

El tamaño de las figuras es poco realista, pero el procedimiento es bastante exacto.

Grafos: Los siete puentes de Königsberg

Se cuenta que le hicieron una pregunta al gran matemático Leonhard Euler:


"¿Es posible hacer un recorrido por estos puentes  pasando solo una vez por cada puente y acabando donde se empezó?"
La respuesta de Euler fue clara: "¡No es posible! Ni si quiera si consideramos que podemos acabar en un lugar distinto de donde empezamos."
Euler dijo que lo resolvió fijándose en las zonas y no en los puentes: un grafo. Vio que el número de puentes era impar para todas las zonas, luego sería imposible hacer este recorrido, ya que para poder volver al punto de origen es necesario un número par de conexiones en cada punto de un grafo.

Principio de Dirichlet

Uno de los principios y teoremas matemáticos que se explican es el principio de Dirichlet. Se presenta con un sencillo problema:
"¿Hay en el mundo dos o más personas con el mismo número de cabellos (sin contar los calvos)?"
La respuesta es sencilla y exacta: Sí. Si hay tanta gente en el mundo casi seguro que alguno coincide. Pero si vemos que el ser humano tiene menos de 200.000 cabellos y hay más de 7.000.000.000 humanos, seguro que coincide y, el máximo de gente con el mismo número de cabellos ha de ser como mínimo 35.000 personas (7.000.000.000 : 200.000).
Esto lo explica Dirichlet diciendo que si hay 15 palomas y 10 nidos y cada palom se va a un nido, en algún nido tiene que haber más de una paloma.